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广播(Broadcasting)

# 广播(Broadcasting)

另见:

numpy.broadcast

术语broadcasting描述numpy在算术运算期间如何处理具有不同形状的数组。受限于某些约束,较小的数组依据较大数组“broadcasting”,使得它们具有兼容的形状。Broadcasting提供了一种矢量化数组操作的方法,使得循环发生在C而不是Python。它做到这一点且不用不必要的数据拷贝,通常导致高效的算法实现。然而,有些情况下,broadcasting是一个坏主意,因为它导致低效的内存使用并减慢计算。

NumPy操作通常是在逐个元素的基础上在数组对上完成的。在最简单的情况下,两个数组必须具有完全相同的形状,如下例所示:

>>> a = np.array([1.0, 2.0, 3.0])
>>> b = np.array([2.0, 2.0, 2.0])
>>> a * b
array([ 2.,  4.,  6.])

当数组的形状满足一定的条件时,NumPy的broadcasting规则可以放宽这个限制。最简单的broadcasting示例发生在一个操作包含数组和标量值的时候:

>>> a = np.array([1.0, 2.0, 3.0])
>>> b = 2.0
>>> a * b
array([ 2.,  4.,  6.])

结果等同于前面的例子,其中b是一个数组。在算术运算期间,我们可以认为标量b被拉伸了,形成与a相同形状的数组。b中的新元素是原始标量简单的拷贝。拉伸这个比喻只是概念性的。NumPy足够聪明,它使用原始的标量值而不会真正拷贝,使broadcasting操作尽可能的内存和计算高效。

第二个例子中的代码比第一个例子中的代码更有效,因为broadcasting在乘法期间移动较少的内存(b是标量而不是数组)。

# Broadcasting的一般规则

当在两个数组上操作时,NumPy在元素级别比较它们的形状。它从尾随的维度开始,并朝着前进的方向前进。两个维度兼容,当

  1. 他们是平等的,或者
  2. 其中之一是1

如果不满足这些条件,则抛出ValueError: frames are not aligned异常,指示数组具有不兼容的形状。结果数组的大小是沿着输入数组的每个维度的最大大小。

数组不需要具有相同维度的数目。例如,如果你有一个256x256x3数值的RGB值,并且你想要通过一个不同的值缩放图像中的每个颜色,你可以将图像乘以一个具有3个值的一维数组。根据broadcast规则排列这些数组的最后一个轴的大小,表明它们是兼容的:

Image  (3d array): 256 x 256 x 3
Scale  (1d array):             3
Result (3d array): 256 x 256 x 3

当比较的任何一个维度为1时,则使用另一个。换句话说,大小为1的维被拉伸或“复制”以匹配另一维。

在以下示例中,A和B数组都具有长度为1的轴,在broadcast操作期间将其扩展为更大的大小:

A      (4d array):  8 x 1 x 6 x 1
B      (3d array):      7 x 1 x 5
Result (4d array):  8 x 7 x 6 x 5

这里有一些例子:

A      (2d array):  5 x 4
B      (1d array):      1
Result (2d array):  5 x 4

A      (2d array):  5 x 4
B      (1d array):      4
Result (2d array):  5 x 4

A      (3d array):  15 x 3 x 5
B      (3d array):  15 x 1 x 5
Result (3d array):  15 x 3 x 5

A      (3d array):  15 x 3 x 5
B      (2d array):       3 x 5
Result (3d array):  15 x 3 x 5

A      (3d array):  15 x 3 x 5
B      (2d array):       3 x 1
Result (3d array):  15 x 3 x 5

以下是不broadcast的形状示例:

A      (1d array):  3
B      (1d array):  4 # trailing dimensions do not match

A      (2d array):      2 x 1
B      (3d array):  8 x 4 x 3 # second from last dimensions mismatched

broadcasting在实践中的一个例子:

>>> x = np.arange(4)
>>> xx = x.reshape(4,1)
>>> y = np.ones(5)
>>> z = np.ones((3,4))

>>> x.shape
(4,)

>>> y.shape
(5,)

>>> x + y
<type 'exceptions.ValueError'>: shape mismatch: objects cannot be broadcast to a single shape

>>> xx.shape
(4, 1)

>>> y.shape
(5,)

>>> (xx + y).shape
(4, 5)

>>> xx + y
array([[ 1.,  1.,  1.,  1.,  1.],
       [ 2.,  2.,  2.,  2.,  2.],
       [ 3.,  3.,  3.,  3.,  3.],
       [ 4.,  4.,  4.,  4.,  4.]])

>>> x.shape
(4,)

>>> z.shape
(3, 4)

>>> (x + z).shape
(3, 4)

>>> x + z
array([[ 1.,  2.,  3.,  4.],
       [ 1.,  2.,  3.,  4.],
       [ 1.,  2.,  3.,  4.]])

Broadcasting提供了获取两个数组的外积(或任何其他outer操作)的方便方式。以下示例显示了两个1-d数组的外积操作:

>>> a = np.array([0.0, 10.0, 20.0, 30.0])
>>> b = np.array([1.0, 2.0, 3.0])
>>> a[:, np.newaxis] + b
array([[  1.,   2.,   3.],
       [ 11.,  12.,  13.],
       [ 21.,  22.,  23.],
       [ 31.,  32.,  33.]])

这里newaxis索引操作符将一个新轴插入到a中,使其成为一个二维4x1数组。将4x1数组与形状为(3,)b组合,产生一个4x3数组。

有关broadcasting概念的图解,请参阅本文